Важным этапом проектирования системы ЭМП является выбор из множества альтернативных вариантов некоторого подмножества (в частном случае — одного варианта) для дальнейшей детальной расчетной и конструкторской разработки. Задача выбора с известной скалярной целевой функцией (показателем эффективности) трансформируется в общую оптимизационную одноэтапную процедуру принятия решения, которая формулируется так: наиболее эффективной системой является та, которая имеет наилучший показатель эффективности М. Такая постановка предполагает сравнение альтернативных вариантов систем с экстремальными показателями эффективности:
где ср — условия и ограничения, в которых функционирует /-я система; I — число альтернативных вариантов; х — варьируемые параметры /-й системы, принадлежащие области допустимых значений X.
В противном случае при сравнении варианта с экстремальным показателем эффективности с неоптимальным вариантом системы может быть сделан ошибочный выбор «эффективного» варианта.
Систему ЭМП предлагается выбирать в следующем порядке [62]: определение множества систем ЭМП; обоснование показателя эффективности; составление математических моделей вариантов систем ЭМП; решение общей задачи нелинейного программирования (2.1) для множества вариантов; выбор одного (или нескольких) вариантов системы ЭМП с наилучшим показателем эффективности.
Очевидна высокая ответственность в обосновании показателя эффективности. Каждый из вариантов систем ЭМП обладает многими свойствами (критериями). Одновременный учет всех критериев может быть затруднительным и приводит к задаче многокритериальной оптимизации [62], решение которой не однозначно. В качестве показателя эффективности М целесообразно использовать интегральные критерии, такие, как транспортная масса системы [61], приведенная транспортная масса системы и наиболее общий показатель приведенных экономических затрат, которые обобщенно характеризуют любой вариант системы ЭМП.
С. В. Черновым разработана методика определения эффективной системы ЭМП, которая ниже продемонстрирована на ряде вариантов автономных (не комбинированных с ЛТЭД) систем ЭМП с П-образным исполнением электромагнита с обмотками на ярме и с естественным воздушным охлаждением. Электромагниты расположены с двух сторон вдоль экипажа и образуют в магнитном отношении непрерывную систёму. Варианты могут различаться, например, следующими исходными данными: проводниковый материал обмотки Си, А1; ферроматериал магнитной цепи сталь 10, сплав 49 КФ; номинальный воздушный зазор 6=10, 15, 20 мм; масса экипажа, приходящаяся на 1 м длины цепи ЭМ, т|-1000, 1500, 2000 жг/м. В качестве показателя эффективности может быть принята транспортная маеса системы ЭМП, приходящаяся на 1 м длины цепи электромагнитов:
где г — числа компонентов системы.
Целесообразно выделить следующие компоненты рассматриваемых вариантов системы: электромагнит, состоящий из маг-нитопровода и обмотки; система управления подвесом; источники основного и резервного (аккумулятор) электропитания и компенсатор реактивной мощности. Если в качестве компонента включить массу 1 м длины феррорельса путевой структуры с каким-либо весовым коэффициентом, то такой показатель эффективности может быть назван приведенной транспортной массой. Массы компонентов на 1 м длины (рис. 2.8): магнитопоовода электромагнита
Здесь уж, у* — плотности, материалов магнитопровода и обмотки электромагнита; &р— коэффициент рассеяния магнитного поля; к3 — коэффициент заполнения обмотки; (?э, — активная и реактивная мощности; та, тп.э, /пак, ткрм— удельные коэффициенты пропорциональности преобразователя системы управления, источников основного и резервного электропитания и компенсатора; Мэ — масса экипажа.
Математическая модель на стадии выбора системы ЭМП с достаточной точностью отражает реальные процессы в системе, которые описываются законами электротехники, теплотехники, механики, геометрии и др. Закон Ома для участка магнитной цепи с воздушным зазором
**=а4/^д=аа^-2 ад).
(2.2)
где Фд — магнитный поток через воздушный зазор; Гд, Р — падение магнитного напряжения в зазоре и МДС обмотки;. Ні(Ві) — напряженность магнитного поля на /-м участке, определяемая по кривой намагничивания магнитопрово-да; и — длина і-го участка магнитной цепи; Лд = 2л X X 10-7[0,52 + а/б + 1,28 X
Рис. 2.8. Поперечный разрез электромагнитной цепи:
а-Ширина полюсного наконечника; Ь расстояние между полюсами; с — высота полюсного наконечника; Л — высота полюса
X (6-я/б)/(6 +лб)]-проводимость 1 м воздушного зазора.
Примем, что в самом тяжелом режиме работы системы ЭМП падение магнитного напряжения на остальных участках магнитной цепи не превышает 10% МДС обмотки:
водность изоляции; Д=0,13 (Вт-м)/°-коэффициент теплопроводности изоляции; б1=л1йиз/4 — эквивалентная толщина изоляции отдельных проводников обмотки; П- число слоев проводников в данном направлении; Ьаз — толщина изоляции проводника на обе стороны; -толщина внешней изоляции об мотки; ав = а(1+?(Щ0,5)-коэффициент теплоотдачи обмотки при движении экипажа со скоростью и; /г0 — коэффициент интенсивности обдувания; а = 0,92ак+ат— коэффициент теплоотдачи обмотки в спокойном воздухе; ат « 5 + 0,0330; ак я» «2,4200‘25 — коэффициенты теплоотдачи, вызванные действием теплоизлучения и конвекции.
Приближенная математическая модель процессов в системе ЭМП (2.2) — (2.6) образует условия, в которых функционирует рассматриваемая система. В качестве варьирующих удобно выбрать следующие параметры: х-[а, Ъ, к, К, фэ, 0].
Общая задача нелинейного программирования может быть решена численно алгоритмом скользящего допуска, например, при следующих характеристиках вариантов систем: Л4о = 40 т, п=110 м/с; йо — 0,5; йд=2,857; тп = 0,04; ти.п = 0,2; ?р=1,05; таК=5,56 кг/кВт; шкрм=40 кг/кДж; обмотка выполнена из провода ПСДК, у которого размер голой жилы 2,83X1.68 мм; ЬИз = 0,27 мм; &2=1 мм; 0К=8800 кг/м3; рт=0,175-10-7 Ом-м; /гт=0,39-10~2 1/°; /г3 = 0,6; алюминиевая фольговая обмотка с характеристиками: ?>2=" 1 мм; рк=2700 кг/м3; /г3=0,9; рт= = 0,28-10-7 Ом-м; /гт=0,49-10~2 1/°. Плотность материала маг-нитопровода: для железокобальтового сплава 49 КФ — рж =
= 8150 кг/м3; для стали 10 — рж = 7850 кг/м3.
Результаты расчетов (рис. 2.9) показывают, что наиболее эффективной системой ЭМП из рассмотренного множества вариантов является система с электромагнитами из железокобальтового сплава 49 КФ с высокой индукцией насыщения и обмоткой из алюминиевой фольги.
Результаты расчетов подтверждают тенденцию повышения эффективности системы ЭМП с уменьшением зазора и увеличением массы экипажа т, приходящейся на 1 м его длины.
Синтез силового элемента ЭМП — электромагнита осу ществляется на основе теории магнитных цепей и методов оптимизации [32]. Наряду с решением задачи выбора эффективности системы ЭМП, описанной выше, необходимы также уточненные силовые характеристики электромагнитов, т. е. зависимости силы притяжения и боковой силы притяжения от зазора, смещения, ампервитков обмотки. Учитывая большие зазоры электромагнита, уточненные расчеты следует проводить на основе уравнений электромагнитного поля. Относительно большая длина электромагнита в направлении движения по сравнению с поперечными размерами позволяет принять допущение о плоско-параллельности его магнитного поля. При этом система уравнений поля при постоянном токе в обмотке электромагнита гоН=1 (Ну7?=0; В=^Н
Рис. 2.9. Транспортная масса систем ЭМП: а — с сердечником из стали 10: 6 — то же из железокобальтового сплава 49КФ; 1 — при т-1000 кг/м; 2 — при т=.
преобразуется с помощью векторного магнитного потенциала А, который определяется соотношениями гоІЛ=В, (1іуЛ = 0, к уравнению относительно одной скалярной функции — проекции А на вертикальную ось Ог
(2.7)
где 1 — проекция вектора плотности тока 7 на ось Ог; г=1/[х. Уравнение (2.7) следует дополнить граничными условиями: 1) вектор А на бесконечности ограничен; 2) на границах раздела сред с различными V имеем А+==А~; +дА+/дп=~дА-/дп; П — напряженность магнитного поля: В — магнитная индукция.
Здесь плюс и минус означают, что величины, относятся к различным средам.
Решение указанной краевой задачи позволяет найти Вх=
~дА/ду Ву = -дА/дх, В=^В2 х—В1, а затем й пондеромо-торную силу [4].
где ^ф’-поверхность, охватывающая феррорельс; п — единичный вектор.
В последние годы для расчета нелинейных магнитных полей широкое применение получил метод конечных элементов. Однако этот метод с использованием только треугольных конечных элементов с линейными аппроксимирующими функциями плохо приспособлен для расчета полей в устройствах бесконтактного движения, отличающихся большими зазорами, наличием областей с открытыми границами, а также существенным влиянием на силовые характеристики концентрации полей вблизи углов ферромагнетиков. Вместе с тем введение новых элементов, корректно учитывающих особенности полей вблизи угловых точек, а также бесконечных элементов, сводящих расчет полей в бесконечных областях к расчету их в ограниченных областях [59], позволяет повысить эффективность метода конечных элементов.
При рассмотрении подробнее этапов решения задачи (2.7) методом конечных элементов описанную модель (2.7) следует заменить дискретной математической моделью с помощью метода Галеркина. В отличие от известного подхода, основанного на минимизации функционалов, метод Галеркина позволяет решать более широкий класс задач, для которых функционалы не существуют либр пока не получены.
Искомую функцию можно представить в виде
Математическая модель (2.12) более удобйа для численной реализации, чем модель (2.9), так как предъявляет ослабленные требования к гладкости базисных функций.
Подстановка в выражение (2.12) граничных условий аннулирует интеграл по границе Г.
При использовании метода конечных элементов следует покрыть область О конечными элементами так, чтобы границы элементов совпали с границами раздела сред с различными у; вы брать ц>)(х, у) локальными, отличными от нуля на всей совокупности элементов, содержащих узел I, и равными нулю в остальной части области П, а также наложить условия
При переходе к выбору и построению конечных элементов, кроме обычных треугольных элементов с линейными аппроксимирующими функциями, используют бесконечные и нерегулярные конечные элементы [10]. Предполагается, что в областях,
покрываемых этими элементами, отсутствуют источники поля, а среда однородна и изотропна.
Бесконечный элемент первого типа представляет собой внешность окружности радиуса а (рис. 2.10). Аппроксимирующие функции этого элемента можно получить на основе аналитического решения уравнения сЦу§гас1А=0 (2.16)
Рис. 2.10. Бесконечный элемент первого типа в полярной системе координат (р, а) в области а^р^оо; 0^а^2я при граничных условиях А (а, а) = ==А(а) на окружности и ограниченности А(р, а) при р->-оо. При этих условиях решение (2.16) имеет вид
Аналогично строят бесконечные элементы других типов, которые применяют для систем с плоскостями симметрии. Элемент второго типа используют при расчете систем, имеющих на плоскостях симметрии А = 0. Если на одной плоскости симметрии Л = 0, а на другой дА[дп=0, то берут элемент третьего типа. Если на обеих плоскостях симметрии дА)дп-0, то применяют элемент четвертого типа.
Важное место при расчете полей занимает учет особенностей решения в окрестности угловых точек границ области. Эти особенности заключаются в неограниченном росте модуля градиента искомой функции при приближении к угловой точке. Опыт применения метода конечных элементов (МКЭ) с линейными треугольными элементами показал, что точность результатов существенно зависит от числа элементов, их расположения вблизи вершины угла. Для преодоления этих трудностей нами разработан нерегулярный конечный элемент,
позволяющий корректно учесть особенности решения при сокращении числа неизвестных. Аппроксимирующие функции этого элемента построим на основе аналитического решения уравнения (2.16) в полярной системе координат в секторе О^р^а, О^а^б с граничными условиями А(р, 0) А(р, 0) на сторонах угла и А (а, а) на дуге окружности (рис. 2.11).
Если принять на сторонах угла А (р, 0) =А (р, 0) = 1 — р/а, то искомая функция в секторе аппроксимируется выражением
Как указывалось, бесконечные элементы и нерегулярный элемент применяют совместно с линейными треугольными элементами. Поэтому возникает необходимость согласования этих элементов. Для согласования используют [9] линейчатые треугольники. Однако опыт показал, что достаточная точность может быть обеспечена и при несогласованных элементах, т. е. элементах, на границах которых функция А непрерывна лишь в узлах.
При этом границы новых элементов изменяются: вместо дуг окружностей используются части границ вписанных многоугольников, а вместо окружности — граница вписанного в нее правильного к угольника с теми же ф; и |3ц [9]. Вершины многоугольников и узлы элементов совпадают.
Алгоритм расчета электрических и магнитных полей методом конечных элементов состоит из следующих этапов: покрытие области расчета конечными (треугольными и нерегулярными) и бесконечными (при решении внешних задач) элементами и определение координат узлов сети; формирование систем алгебраических уравнений (2.14) и наложение граничных условий; решение полученной системы, т. е. вычисление значений искомой функции АI в узлах сетки; получение интересующей информации (вычисление градиентов поля, эквипотенциалей, линии магнитной индукции и т. д.).
Программное обеспечение, реализующее описанный алгоритм на языке ФОРТРАН-1У на ЭВМ. ЕС, представляет собой пакет прикладных программ (ППП), состоящий из восьми модулей. Модули выполняют следующие функции: ввод и подготовку информации для работы других модулей; построение сетки, в которой используются обычные треугольные элементы, четыре типа бесконечных элементов и нерегулярный элемент;
составление системы алгебраических уравнений и наложение граничных условий;
решение системы уравнений методом итераций; вывод значений искомой функции в узлах сетки; вычисление и вывод координат точек эквипотенциалей, модулей градиентов и их проекций на оси координат;
Рис. 2.12. Сетка, содержащая один бесконечный, восемь нерегулярных элементов н треугольные элементы вычисление и вывод сил, проводимостей, потокосцеплений. Для работы модуля, генерирующего сетку, необходимо задать ломаные линии, разделяющие область расчета на подобласти, числа деления отрезков ломаных на части, треугольные элементы и числа деления их сторон на части, а также специальные элементы. Пакет прикладных программ допускает расширение. Тестирование пакета прикладных программ с помощью задач, имеющих аналитическое решение, показало, что высокая точность результатов достигается при относительно малом числе неизвестных [10].
Рис. 2.13. Зависимость коэффициентов угловых эффектов от 6/6 (см, рис. 2.12)вычисление и вывод координат точек силовых линий;
На рис. 2.12 приведена сетка, содержащая один бесконечный, восемь нерегулярных элементов и треугольные элементы. Эта сетка построена с помощью модуля, описанного выше. Она позволяет достаточно строго найти зависимости силы притяжения и боковой силы от основных размеров б, Ь, с и от ампервитков электромагнита. Расчеты позволили построить зависимость коэффициента, учитывающего угловые эффекты полюсов, от отношения й/6 (рис. 2.13). При этом коэффициент угловых эффектов
К=рп/Р о, где Рп — подъемная сила электромагнита при с=0; Р0=цоН0 2Ы-, Н0 — напряженность магнитного поля в зазоре, определяемая как отношение ампервитков, приходящихся на зазор, к величине зазора. Коэффициент К может быть использован на стадии проектного расчета.
⇐Электромагнитные и кинематические схемы систем ЭМП | Транспорт с магнитным подвесом | Тормозная и подъемная силы при движении БЭПС⇒