При проведении данных исследований к методу интегрирования предъявлялось два основных требования. Это возможность интегрировать дифференциальные уравнения, в которых порядок старшей производной равен двум (как в обычных уравнениях д’Аламбера) и по возможности большое быстродействие, которое определяется количеством вычислений правой части уравнения на одном шаге интегрирования.
В научной школе, сложившейся на кафедре "Вагоны и вагонное хозяйство" МИИТ’а, в течение многих лет в задачах динамики использовался разностноитерационный способ интегрирования дифференциальных уравнений [77].
Суть его заключается в следующем.
Если имеем векторную форму дифференциального уравнения (2.106), приведенную к нормальной форме Коши в виде
где /И — номер итерации на одном шаге интегрирования.
Вычисления по формулам (2.110), (2.107) циклически повторяются на одном шаге т -раз до выполнения условия
(2.111)
где В, — точность итераций.
Если при проведении УП итераций условие (2.111) не выполняется, то шаг интегрирования уменьшается (например, делится пополам) и вычисления по формулам (2.110), (2.107) и (2.111) производятся с уменьшенным шагом. Таким образом, изложенный метод интегрирования не требует понижения порядка старшей производной до единицы (как это предусмотрено в большинстве традиционных методов), работает с автоматическим выбором шага И в зависимости от заданной точности <%. Он достаточно хороша апробирован в исследованиях многих авторов [20]. Недостатком этого метода является то, что при интегрировании систем высокого порядка возрастает время вычислений на ЭВМ.
Поэтому для ускорения вычислительной процедуры была предложена еще одна модификация этого метода, позволяющая получить замкнутые беЗитерационные формулы интегрирования. Для получения указанных формул третья производная 1/1 в разложениях Тейлора (2.108) и (2.109) представлена разностью не в ускорениях (2.109,а), а в перемещениях следующим образом
Индексы 1+1, 1, М, 1-2 относятся к номеру шага вычисления (интегрирования). В формулах (2.113) ?/, вычисляется из уравнения (2.107), остальные векторы являются известными.
Таким образом, процедура интегрирования осуществляется по формулам (2.113) и (2.107) с последующей сдвижкой массивов 1+1 в 1; 1 в 1-1; 1-1 в 1-2.
Таким образом, использование предлагаемого метода интегрирования по формулам (2.113) дает безитерационный процесс, что значительно сокращает время вычислений на ЭВМ по сравнению с итерационным (2.110), (2.111), но при этом шаг интегрирования автоматически не выбирается в зависимости от заданной точности ?>.
Однако порядок шага интегрирования может быть достаточно надежно определен при решении для исследуемой системы задачи на собственные значения.
Векторное дифференциальное уравнение (2.106) в своей постановке представляет задачу Коши.
Чтобы начать процесс интегрирования по формулам (2.113) и (2.107), надо для данной задачи знать начальные условия, т.е. векторы 17,17 і и ?/,. По существу вектор иі определяет в начале интегрирования координаты статического положения вагона перед началом движения со скоростью V. В данной постановке задачи предполагается, что перед началом движения вагон стоял на месте, следовательно естественно, что 171_ 2 = 171_ 1 = її і, а її і = 0. Чтобы определить вектор 17і, производится интегрирование уравнения (2.106) с нулевыми начальными условиями до того момента, когда 11) перестанет изменяться в процессе счета, а 17 і; «0. Такой прием был использован в задачах поиска начальных статических деформаций кузовов вагонов [81]. При этом внешние возмущения (неровности рельсов) в процессе вычисления начальных условий 17і не меняются во времени и зависят только от начальной установки колес вагонов в неподвижной системе координат.
⇐Расчетные методы, используемые при компьютерном моделировании динамики пассажирского вагона | Динамика пассажирского вагона и пути модернизации тележки КВЗ-ЦНИИ | Вычисление собственных значений системы⇒